الدراسة تتناول الأنواع المختلفة من حلول السوليتون الدقيقة لنموذج مهم يُسمى معادلة فان دير ووالس غير الخطية ذات البعدين (1 + 1) مع الفا-الزمن الكسرية. يُستخدم هذا النموذج لشرح حركة الجزيئات والمواد. توضح معادلة فان دير ووالس ظاهرة فصل الأطوار. تؤثر قوى فان دير ووالس غير التساهمية أو قوى التشتت عادةً على الهيكل والديناميكيات والاستقرار ووظائف الجزيئات والمواد في مجالات علمية مختلفة مثل البيولوجيا والكيمياء وعلوم المواد والفيزياء. تم الحصول على حلول تشمل السوليتونات الداكنة، السوليتونات الداكنة الفريدة، الأمواج الدورية، الأمواج الفريدة، وغيرها من الحلول الموجية الدقيقة باستخدام طريقة الدالة المعدلة الممتدة تانِه. يؤدي استخدام المشتقات الكسرية إلى تمييز الحلول الحالية عن الحلول الموجودة سابقًا. ستكون النتائج المكتسبة ذات أهمية كبيرة في تفاعل التقلبات الكمومية، والمواد الحبيبية، وتطبيقات أخرى لمعادلة فان دير ووالس. قد تكون الحلول مفيدة في مجالات علمية مختلفة وهندسة مدنية، بالإضافة إلى بعض التطبيقات الفيزيائية الأساسية مثل تلك التي تدرس في الجيوفيزياء. تم التحقق من النتائج وتمثيلها باستخدام الرسوم البيانية ثنائية وثلاثية الأبعاد، ورسوم الخطوط الكنتورية باستخدام برنامج Mathematica. النتائج التي تم الحصول عليها هي أحدث من الحلول الحالية. تم أيضًا إجراء تحليل الاستقرار للتحقق من استقرار النموذج المعني. علاوة على ذلك، تم دراسة عدم الاستقرار الناتج عن التعديل لدراسة الحلول الثابتة للنموذج المعني. ستساعد النتائج في الدراسات المستقبلية للنظام المعني. في النهاية، يمكننا القول إن الطريقة المستخدمة مباشرة وديناميكية، وستكون أداة مفيدة لمناقشة القضايا المعقدة في مجموعة واسعة من المجالات.
